Математическая модель деформирования кольца из упругопористого материала МР в режиме прецессионного деформирования

Широкое распространение в технике получили упругодемпфи — рующие устройства из материала МР [74] в виде цилиндрических втулок, устанавливаемых в коаксиальное пространство между корпу­сом опоры и цилиндрической цапфой, трубопроводом или вибрато­ром ротора. Конструктивно эти устройства мшуг быть выполнены самой различной формы с разъемными или неразъемными корпуса­ми, с цельноцилиндрическими или многосегментными упругодемп — фирующими элементами.

На рис. 2.46 показаны типовые конструкции хомутов для крепле­ния трубопроводов, применяемых в аэрокосмической технике. На рис. 2.47 и 2.48 показаны конструкции упругодемпфирующих опор ротора судовой газотурбинной установки с кольцевыми демпфирую­щими элементами из материала МР.

Рис. 2.46. Фото типовых упругодсмпфериых зажимов для крепления трубопроводов на корпусах энергетических установок

 

Упругодемпфирующие элементы указанных устройств могут работать как в режиме однонаправленного (одноос­ного) деформирования, так и в режи­ме прецессионного деформирования, когда вектор перемещения центра цап­фы совершает вращательное движение вокруг оси опоры.

Весьма интересным является то, что уиругогистерезисиые характеристики цилиндрических демпфирующих опор при однонаправленном и прецессион­ном нагружениях различны [131J.

Для создания методик расчета харак­теристик цилиндрических опор из мате­риала МР, сеток, тканого металлического и стеклонластикового унругодемнфирую — щего материала необходимо знать харак­теристики элементов указанных материа­лов, работающих на сжатие в координатах G— в, где а = N/{ab) — напряжения сжа­тия па элемент демпфера в радиальном направлении, є =ДЯ/Я— радиальная (пор-

Рис. 2.48. Средняя опора ротора

 

мальная) деформация элемента, а Н— первоначальная толщина демпфера в радиальном направлении в иепагружеппом состоянии, b — размеры поперечного сечения элемента.

Известные теоретические методики расчета материала МР па сжа­тие далеки от совершенства [118, 67J. Кроме того, они требуют для расчета определенное число экспериментальных поправочных коэф­

фициентов, что сводит на пет указанные методики при их практическом использовании.

Поскольку без эксперимен­та обойтись пока что не удает­ся, в настоящей работе делает­ся попытка создания полуэмни — рической методики расчета упругогистерезисных харак­теристик материала МР па сжа­тие с последующим их исполь­зованием в методиках расчета цилиндрических опор на одноос­ное и прецессионное нагру­жение.

Для эксперимента были ис­пользованы элементы из мате­риала МР в виде параллеле­пипеда (рис. 2.49), изготовлен­ные но технологии СГАУ с вы-

сотой Н и размерами основания axb. Материал проволоки — 1Х18Н9Т.

Очень важным является изготовление образца по той же тех­нологии, что и упругодемпфирующий цилиндрический элемент опо­ры. Это требование было выполнено.

Элементы подвергались нагружению пульсирующего типа (рис. 2.50, а). Далее поле нетель перестраивалось в координатах о—е (рис. 2.50, б). При этом вначале деформирование осуществлялось на максимально возмож­ную величину, а затем — от заданною натяга в стороны нагружения и разгружения до тех пор, пока частичный процесс загружения не вливался в соответствующий граничный процесс.

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 ДА/, мм 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Рис. 2.50. Упругогистерезисные циклы образца из материала МР:

а — исходные, 6 — в координатах о—є

Затем было проведено тщательное исследование подробностей гис­терезиса с помощью специально созданной программы расчетов на языке пакета MathCad-2001. Обозначим верхний граничный процесс петли гистерезиса через а нижний — через а2-

Тогда среднециклическое напряжение можно рассчитать по формуле

°ср = (°2 + CTiV2- (2-54)

Зависимость среднециклического напряжения о от деформации е, рассчитанная по формуле (2.54), показана на рис. 2.51.

Эта зависимость (рис. 2.51) была аппроксимирована полиномиаль­ной кривой в виде:

= 0,819є — 10,01є2 + 123,07є3 — 539,05е4 + 904,76є5. (2.55)

Обозначим неупругую составляющую гистерезиса, равную толщи — не петли в направлении напряжений через <тг Ее можно найти по формуле

от = о, — о2. (2.56)

Исследование показало, что неупругая составляющая о пропор — циональна среднециклическому напряжению ст с коэффициентом пропорциональности k = 0,42:

от = 0,42а (2.57)

«№

Эта зависимость показана на рис. 2.52. Ее характер хорошо согла­суется с упоминанием о соответствующей величине в работе А. М. Сой — фера [118].

Имея аналитические зависимости а = оср(е) и от = ат(е), мож­но рассчитать внешние контуры гистерезиса материала МР, работаю­щего на сжатие при пульсирующем цикле

а(е) = аср(е) ± от(е)/2. (2.58)

Для описания любых внутренних процессов нагружения и раз­грузки, начало которых расположено при произвольном значении деформации £q было проведено дополнительное исследование. Его смысл состоял в следующем.

Пусть в общем случае деформирование элемента из материала МР осуществляется из некоторой точки (о0, е0) пространства ст—е, лежащей на граничном процессе. В работе доказано, что существуют некоторые критериальные координаты

(2.60)

v — 1,2, в которых безразмерная функция А(£) изображается единст­венной кривой (рис. 2.53). Ее удалось аппроксимировать функцией

А© = ехр(-5£). (2.61)

В выражениях (2.59) и (2.60) в качестве базовых величин взяты неупругая составляющая напряжений (2.58) и остаточная деформа­ция Oq, определенная в виде отрезка, отсекаемого граничными про­цессами at(e) и а2(е). Зависимость остаточной деформации а0= я0(є) показана на рис. 2.54 и аппроксимирована функцией

а0(е) = 0,000001 + 1,083е-19Д62е2 +185,264е3 —

874,8е4 +1924,4е5 -1591,1е6.

Зависимости (2.61) и (2.62) позволяют записать окончательное выражение для расчета любого процесса загрузки с началом, лежа­щим на граничном процессе петли гистерезиса в виде

a(e, e0,v) = ocp(e)+0,5(-l)v+1- ‘ ‘ »v

(2.63)

По своей структуре выражение (2.63) сходно с выражением для определения нормальной силы сопротивления многослойных гофриро­ванных пакетов [107].

Попытаемся наметить путь решения задачи об определении частных гистерезисов в проек­циях на оси координат ОХ и OY демпфера постоянных тол­щины Н в радиальном направ­лении и ширины Ъ и установ­ленного между корпусом опоры и наружным кольцом подшип­ника с некоторым натягом А (рис. 2.55).

Допустим, что для той же, что и реализованная в демп­фер, схемы прессования, изве­стна упругогистерезисная ха­рактеристика элемента демп­фера на сжатие в координатах

а—£, подчиняющаяся выражениям (2.55, 2.58, 2.63). Выделим двумя радиусными сечениями малый элемент с угловой протяженностью <йр и шириной Ь. Тогда проекции вектора А на оси координат найдутся в виде

х = A cos ф; у = A sin ф.

Радиальная осадка выделенного элемента при смещении цапфы на величину А на оси координат выражается в виде

^(ф, а) = A+Acos(<p-a). (2.65)

Поскольку упрушдемпфирующий элемент опоры предварительно поджат на некоторую величину Д, то каждый элемент протяженности dcp будет деформироваться из некоторой точки

<г0(ср, а) = Д+А(-1)в'<<р’о), (2.66)

где v =/(ф, а) — параметр загружения. Он равен:

если dq{<*’a) < 0. (2.67) dy

t dq{<p, Ct). Л _

v = 1, если — —— >0; V = 2,

d<p

С помощью выражений (2.65) и (2.66) можно найти безразмер­ные величины деформаций

— f(tt rt — ^

Ч ~ /^(ф* Т]

а затем и распределение нормальных напряжений но поверхности цапфы (2.63). Проинтегрировав нормальные напряжения по длине окружности цапфы, спроектировав полученный вектор силы на оси координат и сложив полученное с проекциями распределенных сил трения на границе упругого элемента и цапфы, получим:

2я

Nx = f a(e, Bq, V)M?( sin ф — / cos ф)<Лр; о

2л

Ny = J a(e, Eq, bR(cosф + / sin ф) </ф. (2.68)

о

На рис. 2.56 показаны петли гистерезиса опоры с кольцевым дем­пфером из материала МР, рассчитанные по разработанной методике.

Отличительной особенностью полученных результатов является то, что, хотя данный демпфер принадлежит к системам конструкци­онного демпфирования, контуры его гистерезиса при круговых орби­тах движения цапфы представляют собой эллипсы, что характерно для гидравлических демпфирующих устройств.

Рис. 2.57. Иллюстрация вклада в полный гистерезис — (-): рассеяния

энергии в материале МР—(———— ) и

сухого трения на границе контакта элемента и вибратора —

Второй особенностью, отличающей рассматриваемый демпфер от гидравлических, является переменность жесткости от амплитуды коле­баний: на малых амплитудах жесткость большая; с увеличением амп­литуды жесткость сначала падает, а затем снова увеличивается.

Расчеты показывают (рис. 2.57), что рассеяние в материале МР и на границе с вибратором приблизительно одинаковы и соотносятся как (55 % / 45 %).

Этот результат относится к случаю, когда кольцевой демпфер установлен в коаксиальное пространство между двумя втулками без приклеивания к ним (см. рис. 2.48 и 2.49). Если материал МР при­клеен к втулкам, то в расчетах необходимо учесть касательные на­пряжения от сдвига объема элемента в тангенциальном направлении. Эта часть исследований выходит за границы настоящей работы и здесь не приводится.

Для втулок, работающих в опорах в осевом направлении на сжа­тие расчет гистерезиса сводится к перемножению напряжений (вы-

0 12 z, mm

Рис. 2.58. Упругогистерезисная характеристика кольцевого

демпфера из материала МР

ражение 2.63) на боковую площадь поверхности втулок и определе­нию осевых перемещений цапфы z по формулам:

Nz = a(e, e0,v)

где Н1 — ширина втулки в осевом направлении, £>2 и Dj — ее наруж­

ный и внутренний диаметры, а е — осевая деформация втулки.

На рис. 2.58 в качестве примера показана упругогистерезисная харак­теристика кольцевого демпфера из материала МР, рассчитанная по фор­мулам (2.55—2.62) в осевом направлении с параметрами: Я^-10 мм; Я* “200 мм; £>2=225 мм. Расчет проведен для одного пакета. Если в опоре установлено два пакета с некоторым предварительным натягом, то расчет такой опоры необходимо осуществлять при совместном деформиро­вании двух пакетов. При этом, когда один пакет нагружается, второй — разгружается и наоборот.

Технология составления расчетной схемы гистерезиса для такого случая приведена в работе [131].